Séminaire de l'équipe DéFI
Mardi 22 septembre 2020
Actuellement : post-doctorat avec Lucas Chesnel
Thèse effectuée au LAMFA (Université de Picardie Jules Verne, CNRS UMR 7352) :
2019 — 2020 : ATER à temps complet à l'Université de Picardie Jules Verne (imagerie micro-ondes, EIT)
But : reconstruire certaines propriétés d'un milieu à partir de mesures.
Applications possibles dans le domaine biomédical avec la détection de tumeurs ou le diagnostic d'AVC.
On modélise l'illumination du domaine $\Omega$ par une onde incidente $\bfE_\bfeta$, de direction $\bfeta \in \R^3$, par les équations de Maxwell en régime harmonique. L'intensité du champ électrique $\bfE[\kappa]$ est solution de :\[ \left\{ \begin{array}{rcll} \curl\curl\bfE[\kappa] - k^2\kappa\bfE[\kappa] &=& 0, & \quad \text{dans } \Omega, \\ \curl\bfE[\kappa] \times \bfn &=& \curl\bfE_\bfeta \times \bfn, & \quad \text{sur } \Gamma. \end{array} \right. \]
Résultat d'existence et d'unicité (preuve adaptée de celle de P. Monk, 2003)
Soit la fonctionnelle d'écart aux données avec les observations $\bfE_\text{obs}$ :\[\color{orangered}{J(\kappa) = \frac{1}{2} \int_\Gamma |\bfE[\kappa] \times \bfn - \bfE_\text{obs} \times \bfn|^2}\]avec $\bfE[\kappa]$ solution des équations de Maxwell avec indice de réfraction $\kappa$.
Approximation de $\bfE[\kappa]$ par éléments finis d'arête d'ordre 1 (Nédélec, 1986), implémentés dans FreeFem++
Minimisation de $J$ par l'algorithme BFGS (environ 8000 inconnues dans les tests)
Milieu homogène $\kappa_\text{bg} = 1 + i$
Perturbation d'amplitude $1$ localisée dans le disque de centre $(0.4,0)$ et de rayon $0.2$
Onde incidente $\bfx \mapsto \bfeta^\perp e^{ik\sqrt{\kappa_\text{bg}}\bfeta\cdot\bfx}$ de direction $\bfeta = \transpose{(1, 1)}$
Indice de réfraction exact
Minimisation de la fonctionnelle
L'erreur (en norme $\ell^2$) est de 18% après 200 itérations. Il est nécessaire de régulariser la fonctionnelle en apportant plus d'informations sur la perturbation recherchée.
On s'intéresse à la propagation du champ électrique dans le domaine illuminé par une onde plane $\bfE_\bfeta$ donnée.
On suppose connu l'indice de réfraction de fond $\kappa_\text{bg}$ :\[ \left\{ \begin{array}{rcll} \curl\curl\color{royalblue}{\bfE[\kappa_\text{bg}]} - k^2\kappa_\text{bg}\color{royalblue}{\bfE[\kappa_\text{bg}]} &=& 0, & \quad \text{dans } \Omega, \\ \curl\color{royalblue}{\bfE[\kappa_\text{bg}]} \times \bfn &=& \curl\bfE_\bfeta \times \bfn, & \quad \text{sur } \Gamma. \end{array} \right. \]
\[\kappa_\text{bg} = \dfrac{1}{\eps_0}\left(\eps + i\dfrac{\sigma}{\omega}\right)\]
On ajoute une perturbation dans l'indice de fond :\[ \left\{ \begin{array}{rcll} \curl\curl\color{orangered}{\bfE[\kappa]} - k^2\kappa\color{orangered}{\bfE[\kappa]} &=& 0, & \quad \text{dans } \Omega, \\ \curl\color{orangered}{\bfE[\kappa]} \times \bfn &=& \curl\bfE_\bfeta \times \bfn, & \quad \text{sur } \Gamma, \end{array} \right. \]les fonctions $\color{orangered}{a_{\eps,\sigma}}$ et $\color{orangered}{\varrho_{\eps,\sigma}}$ représentant respectivement l'amplitude et l'indicatrice du support de la perturbation dans les paramètres électriques $\eps$ et $\sigma$.
\[\kappa = \dfrac{1}{\eps_0}\left(\eps(1 + \color{orangered}{a_\eps\varrho_\eps}) + i\dfrac{\sigma(1 + \color{orangered}{a_\sigma\varrho_\sigma})}{\omega}\right)\]
Le champ perturbé est défini comme la différence entre ces deux champs :\[\color{royalblue}{\bfE[\kappa_\text{bg}]} - \color{orangered}{\bfE[\kappa]}\]
Trace du champ perturbé (inhomogénéité sphérique)Trace du champ perturbé sur la sphère dépliée
L'objectif est de comprendre l'information sur la perturbation contenue dans les mesures surfaciques du champ perturbé.
L'analyse de sensibilité permet d'étudier l'influence de perturbations dans l'indice de réfraction $\kappa$ du milieu sur le comportement du champ électrique.
Soit $F \colon \mcX \to \mcY$ une application entre deux espaces de Banach. Soit $U \subset \mcX$ un ouvert. On appelle dérivée de Gâteaux de $F$ en $\alpha \in U$ dans la direction $\mu \in \mcX$ la limite suivante, si elle existe :\[\color{royalblue}{D_\mu{F}(\alpha) = \lim_{h \to 0} \frac{F(\alpha + h\mu) - F(\alpha)}{h}}.\]Si $D_\mu{F}(\alpha)$ existe pour toute direction $\mu \in \mcX$, et si l'application $\mu \mapsto D_\mu{F}(\alpha)$ est linéaire et continue de $\mcX$ dans $\mcY$, alors on dit que $F$ est Gâteaux-différentiable en $\alpha$.
On va déterminer la dérivée de Gâteaux du champ électrique $\bfE[\kappa]$ dans une direction correspondant à une perturbation de l'indice $\kappa$.
Soit l'espace des paramètres :\[\mcP = \set{(\eps,\sigma) \in L^\infty(\Omega)^2}{\kappa \text{ est } H^3 \text{ par morceaux}},\]et soit l'ouvert des paramètres admissibles :\[\mcP_\text{adm} = \set{(\eps,\sigma) \in \mcP}{\eps_\text{min} < \eps < \eps_\text{max} \text{ et } \sigma_\text{min} < \sigma < \sigma_\text{max}},\]où $0 < \eps_\text{min} < \eps_\text{max}$ et $0 < \sigma_\text{min} < \sigma_\text{max}$ sont des constantes.
Soit $\tau \in \mcP_\text{adm}$. Soit $h_0 > 0$ tel que $\tau + h\varrho \in \mcP_\text{adm}$ pour tout $h \in [-h_0,h_0]$ et pour tout $\varrho \in \mcP$. Alors $\bfE[\kappa]$ est Gâteaux-différentiable en $\tau$ et sa dérivée $D_\varrho\bfE[\kappa]$ dans la direction $\varrho = (\varrho_\eps,\varrho_\sigma)$ est solution de l'équation de sensibilité :\[ \color{royalblue}{\left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \bfE^1 \in H(\curl) \text{ tel que } \forall \bfphi \in H(\curl), \\ (\curl\bfE^1,\curl\bfphi) - k^2(\kappa\bfE^1,\bfphi) = \dfrac{k^2}{\eps_0}\left(\left(\mu_1 + i\dfrac{\mu_2}{\omega}\right)\bfE[\kappa],\bfphi\right). \end{array} \right.} \]
Relation entre le support de la sensibilité et la position de la perturbation (à profondeur fixée)
\[|(\bfE^1 \times \bfn)(\bfz)| \approx \frac{C}{|\bfx_0 - \bfz|} + c,\]avec $C,c > 0$ des constantes, $\bfz \in \Gamma$ et $\bfx_0$ le centre de la perturbation
Relation entre la sensibilité et la profondeur de la perturbation
\[\Gamma_\vartheta(d) = \set{\bfz \in \Gamma}{|(\bfE^1_d \times \bfn)(\bfz)| \geq \vartheta \norm{\bfE^1_d \times \bfn}{\infty}}\]\[\frac{\operatorname{aire}(\Gamma_\vartheta(d))}{\operatorname{aire}(\Gamma)}\fragment{2}{ \approx \frac{1}{1 + e^{p_\vartheta(d)}}}\]avec $p_\vartheta$ un polynôme de degré 4
Relation entre la sensibilité et le volume de la perturbation
\[\norm{\bfE^1 \times \bfn}{0,\Gamma} \fragment{1}{\approx C\operatorname{vol}(\text{perturbation}),}\]$C > 0$\[C \approx e^{p(d)},\]avec $p$ un polynôme de degré 2
Données du problème inverse : $\bfE^1 \times \bfn$ sur $\Gamma$.
Génération d'une base de données contenant les coefficients des polynômes $p_\vartheta$ et $p$.
L'algorithme se décompose en trois étapes :
M. Darbas, JH, S. Lohrengel, Sensitivity analysis for 3D Maxwell's equations and its use in the resolution of an inverse medium problem at fixed frequency, Inverse Problems in Science and Engineering (2019).
Localisation exacte
Perturbation reconstruite par l'algorithme
| Valeur | Projection | Profondeur | Rayon |
|---|---|---|---|
| Recherchée | (0.0866, 0.0847, 0.1731) | 0.0456 | 0.0180 |
| Retrouvée | (0.0863, 0.0834, 0.1724) | 0.0462 | 0.0182 |
| Erreur | 0.7% | 1.3% | 1.2% |
Indice de réfraction exact
Minimisation de la fonctionnelle
L'erreur est de 4% (contre 18% précédemment) après 200 itérations. En moyenne l'amplitude est retrouvée de manière satisfaisante mais des fluctuations persistent.
On considère uniquement des perturbations à amplitude constante :\[\kappa_a = \kappa_\text{bg}(1 + \color{orangered}{a}\varrho),\]avec $\color{orangered}{a \in \R}$ et $\varrho$ l'indicatrice du support de la perturbation, supposé connu.
Minimisation de la fonctionnelle $a \mapsto J(\kappa_a)$.
Indice de réfraction exact
Minimisation de la fonctionnelle
L'erreur est de l'ordre de $10^{-14}$ après 10 itérations.
On dispose de données sur une partie $\Gamma_0$ du bord. L'objectif est de les étendre au bord $\Gamma$ tout entier.
Partie accessible du bord
Extension à tout le bord
Soient les champs $\bff$ et $\bfg$ définis sur $\Gamma_0$. L'idée est de résoudre le problème de Cauchy :\[ \left\{ \begin{array}{rcll} \curl\curl\bfE - k^2\kappa\bfE &=& 0, & \text{dans } \Omega, \\ \bfE \times \bfn &=& \bff, & \text{sur } \Gamma_0, \\ \curl\bfE \times \bfn &=& \bfg, & \text{sur } \Gamma_0, \end{array} \right. \]pour ensuite définir les extensions de ces données comme étant $\bfE \times \bfn$ et $\curl\bfE \times \bfn$ sur $\Gamma$. On dispose du théorème de Holmgren pour les équations de Maxwell (M. Brown, M. Marletta et J. Reyes, 2016).
Sous les hypothèses :
si le champ $\bfE \in H(\curl)$ est tel que $\curl\curl\bfE \in L^2(\Omega)^3$ et vérifie le problème de Cauchy avec $\bff = \bfg = 0$, alors $\bfE = 0$.
Conclusion : le problème de Cauchy admet au plus une solution.
On suppose l'existence d'un voisinage tubulaire $\mcV$ du bord $\Gamma$ dans lequel $\kappa$ est connu.
On se ramène au problème de Cauchy sur ce domaine de type couronne :\[ \left\{ \begin{array}{rcll} \curl\curl\bfE - k^2\kappa\bfE &=& 0, & \text{dans } \mcV, \\ \bfE \times \bfn &=& \bff, & \text{sur } \Gamma_0, \\ \curl\bfE \times \bfn &=& \bfg, & \text{sur } \Gamma_0. \end{array} \right. \]
Méthode introduite par R. Lattès et J.-L. Lions (1967)
Formulation mixte proposée et étudiée par L. Bourgeois (2005), L. Bourgeois et J. Dardé (2010), L. Bourgeois et A. Recoquillay (2018), L. Bourgeois et L. Chesnel (2019) pour l'équation de Laplace
Soient les espaces :\begin{align*} V_\bff &= \set{\bfu \in H(\curl)}{\bfu \times \bfn = \bff \text{ sur } \Gamma_0}, \\ M &= \set{\bfmu \in H(\curl)}{\bfn \times (\bfmu \times \bfn) = 0 \text{ sur } \Gamma_1}. \end{align*}
On détermine la formulation variationnelle du problème de Cauchy :\[ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \bfE \in V_\bff \text{ tel que} \\ a(\bfE,\bfpsi) = \ell(\bfpsi), \forall \bfpsi \in M \end{array} \right. \]avec $a(\bfu,\bfv) = (\curl\bfu,\curl\bfv) - k^2(\kappa\bfu,\bfv)$ et $\ell(\bfv) = \langle \bfg,\bfv_T \rangle_{\Gamma_0}$.
Le théorème de représentation de Riesz permet de montrer l'existence et l'unicité de $\bfG \in H(\curl)$ et $A \colon H(\curl) \to H(\curl)$ tels que :\[\forall (\bfu,\bfv) \in H(\curl)^2, \quad a(\bfu,\bfv) = (A\bfu,\bfv)_{H(\curl)} \quad \text{et} \quad \ell(\bfv) = (\bfG,\bfv)_{H(\curl)}.\]
Une solution du problème de Cauchy est solution de :\[A\bfE = \bfG.\]
Numériquement, on peut faire appel à la minimisation de la fonctionnelle des moindres carrés, avec régularisation de Tikhonov :\[\bfu \mapsto \frac{1}{2}\norm{A\bfu - \bfG}{H(\curl)}^2 + \frac{\color{royalblue}{\delta}}{2}\norm{\bfu}{H(\curl)}^2,\]où $\color{royalblue}{\delta} > 0$ est le paramètre de régularisation.
On obtient le système :\[ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\bfE_\delta,\bfF_\delta) \in V_\bff \times M \text{ tel que} \\ \delta(\bfE_\delta,\bfphi)_{H(\curl)} + a(\bfphi,\bfF_\delta) = 0, \quad \forall \bfphi \in V_0, \\ a(\bfE_\delta,\bfpsi) - (\bfF_\delta,\bfpsi)_{H(\curl)} = \ell(\bfpsi), \quad \forall \bfpsi \in M. \end{array} \right. \]
Soit $(\bff,\bfg) \in Y(\Gamma_0)^2$. Pour tout $\delta > 0$, le système de quasi-réversibilité admet une unique solution $(\bfE_\delta,\bfF_\delta) \in V_\bff \times M$. Si de plus $(\bff,\bfg) \in C(\kappa; \Gamma_0)$, alors $(\bfE_\delta,\bfF_\delta)$ tend vers $(\bfE,0)$ quand $\delta$ tend vers 0, avec $\bfE$ la solution du problème de Cauchy correspondant.
Disque
Couronne
Erreur relative
en fonction de $\delta$Erreur sur le domaine
$\frac{\norm{\bfE - \bfE_\delta}{0}}{\norm{\bfE}{0}} = 7.6\text{e}\!-\!4$
$\frac{\norm{\bfE - \bfE_\delta}{0}}{\norm{\bfE}{0}} = 1\text{e}\!-\!2$ (sur $\Gamma_i$ : 3.9%)
On étend le domaine de calcul et on restreint la solution obtenue.
Erreur relative en fonction de $\delta$Erreur sur le domaine
Erreur commise sur la frontière intérieure : 0.029% (au lieu de 3.9%)
On change d'espace fonctionnel :\[W = \set{\bfu \in H(\curl)}{\bfu \times \bfn \in L^2(\Gamma)^3}.\]
On impose faiblement la condition de Dirichlet sur $\Gamma_0$ et on ajoute un terme de régularisation (ici $\beta = (\delta, \eta, \nu) > 0$) :\[ \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } (\bfE_\beta,\bfF_\beta) \in W \times M \text{ tel que} \\ \delta(\bfE_\beta,\bfphi)_{H(\curl)} \color{royalblue}{+ \nu(\bfE_\beta \times \bfn,\bfphi \times \bfn)_{\Gamma_1}} \\ \qquad \color{orangered}{+ \eta^2(\bfE_\beta \times \bfn,\bfphi \times \bfn)_{\Gamma_0}} + a(\bfphi,\bfF_\beta) = \color{orangered}{\eta^2(\bff,\bfphi \times \bfn)_{\Gamma_0}}, \forall \bfphi \in W, \\ a(\bfE_\beta,\bfpsi) - (\bfF_\beta,\bfpsi)_{H(\curl)} = \ell(\bfpsi), \forall \bfpsi \in M. \end{array} \right. \]
Soit $(\bff,\bfg) \in \left(L^2(\Gamma_0)^3\right)^2$. Pour tout $\beta > 0$, le système de quasi-réversibilité relaxé régularisé admet une unique solution $(\bfE_\beta,\bfF_\beta) \in W \times M$. Si de plus $(\bff,\bfg) \in C(\kappa; \Gamma_0)$, alors $(\bfE_\beta,\bfF_\beta)$ tend vers $(\bfE,0)$ quand $(\delta,\nu)$ tend vers 0, avec $\bfE$ la solution du problème de Cauchy correspondant, dès que le ratio $\dfrac{\delta}{\nu}$ tend vers 1.
Disque
Couronne
Erreur relative
en fonction de $\delta$Erreur sur le domaine
$\frac{\norm{\bfE - \bfE_\delta}{0}}{\norm{\bfE}{0}} = 1.9\text{e}\!-\!2$
$\frac{\norm{\bfE - \bfE_\delta}{0}}{\norm{\bfE}{0}} = 2.7\text{e}\!-\!2$ (sur $\Gamma_i$ : 1.7%)
On considère une couronne tridimensionnelle avec $\Gamma_0$ représentant un système de patchs.
Erreur en fonction de $\delta$Erreur sur le domaine
Erreur commise sur la frontière intérieure : 5.7%
La solution du système de quasi-réversibilité relaxé régularisé réalise le minimum de la fonctionnelle :\[\bfv \in W \mapsto \frac{1}{2}\norm{A\bfv - \bfG}{M}^2 + \frac{\eta^2}{2}\norm{\bfv \times \bfn - \bff}{0,\Gamma_0}^2 + \frac{\delta}{2}\norm{\bfv}{H(\curl)}^2 + \frac{\nu}{2}\norm{\bfv \times \bfn}{0,\Gamma_1}^2.\]
Heuristique pour le choix de $\eta$ :\[\eta = \frac{\norm{\bfG}{M}}{\norm{\bff}{0,\Gamma_0}}.\]
La condition de convergence du ratio $\dfrac{\delta}{\nu}$ vers 1 suggère de choisir $\nu = \delta$.
On trace une L-curve : la norme de $\bfE_\beta$ en fonction de la norme de $\bfF_\beta$.
Couronne, cas 2D
Couronne, cas 3D
Le coin de la L-curve coïncide avec la valeur de $\delta$ pour laquelle le minimum de l'erreur sur la frontière intérieure est atteint.
M. Darbas, JH, S. Lohrengel, Numerical resolution by the quasi-reversibility method of a data completion problem for Maxwell's equations, Inverse Problems and Imaging (2020).
On reprend notre exemple : retrouver\[\kappa_\text{ex} = \kappa_\text{bg}(1 + a\varrho),\]avec $\kappa_\text{bg} = 1 + i$, $a = 1$ et $\varrho$ l'indicatrice du disque centré en $(0.4,0)$ de rayon $0.2$.
Génération de données partielles avec le solveur direct
Données connues sur une partie du bord$\kappa$ connu dans une couronneDonnées complétées sur une frontière artificielle par la méthode de quasi-réversibilité dans une couronneRésolution du problème inverse avec données complètes (algorithme de localisation et minimisation de la fonctionnelle)
Simulation de données totales sur une frontière artificielle
Champ exact ayant généré les mesuresTrace du champ perturbé $\bfE[\kappa_\text{bg}] - \bfE[\kappa]$
Champ reconstruit par quasi-réversibilitéTrace du champ perturbé reconstruit
On applique l'algorithme de localisation sur l'intérieur de la couronne.
| Valeur | Projection | Profondeur | Rayon |
|---|---|---|---|
| Recherchée | (0.8,0) | 0.4 | 0.2 |
| Retrouvée | (0.7999996,-0.0007855) | 0.4002160 | 0.2058074 |
| Erreur | 0.098% | 0.054% | 2.904% |
On s'intéresse à la fonctionnelle régularisée :\[J_r \colon \kappa \mapsto J(\kappa) + \frac{r}{2}\int_\Omega |\kappa|^2,\]avec $r > 0$. On recherche une amplitude constante : on minimise alors la fonctionnelle\[j_r \colon a \mapsto J_r(\kappa_a),\]avec $\kappa_a = \kappa_\text{bg}(1 + a\varrho)$.
Erreur commise sur l'amplitude en fonction du paramètre de régularisation
Indice exact
Indice reconstruit
On retrouve l'amplitude avec une erreur inférieure à 1%.
Reconstruire $\sigma$ à partir de mesures du potentiel électrique $u$ aux électrodes $e_\ell$ d'impédance $z_\ell$
\[ \left\{ \begin{array}{rcll} \nabla\cdot(\sigma\nabla u) &=& 0, & \text{dans } \Omega, \\ u + z_\ell\sigma\partial_\bfn u &=& U_\ell, & \text{sur } e_\ell, \\ \int_{e_\ell} \sigma\partial_\bfn u &=& I_\ell, & 1 \leq \ell \leq L, \\ \sigma\partial_\bfn u &=& 0, & \text{sur } \Gamma \setminus \bigcup\limits_{\ell=1}^L e_\ell. \end{array} \right. \]
But : comprendre l'influence de perturbations dans $\sigma$ et/ou $z_\ell$
M. Darbas, JH, R. Mendoza, A. Velasco, Sensitivity analysis of the Complete Electrode Model for electrical impedance tomography, en préparation.